El presente proyecto es una continuación de los proyectos PAPIIT IN108802, IN106705 y IN101608 con el mismo nombre. Los resultados obtenidos con apoyo de dichos proyectos muestran sobradamente que fueron unos proyectos exitosos: más de 40 artículos fueron publicados en revistas internacionales con estricto arbitraje, varios más están enviados o por enviarse, se estableció y fortaleció un grupo de investigación en teoría de conjuntos y combinatoria infinita en Morelia, se concluyeron 4 tesis de maestría, 3 tesis de licenciatura y 2 tesis de doctorado._x000D_ _x000D_ La línea de investigación propuesta involucra desarrollo de varias ramas de combinatoria infinita y sus aplicaciones. La combinatoria infinita es parte integral de teoría de conjuntos con aplicaciones en muchas ramas de matemáticas. La investigación propuesta en este proyecto involucra principalmente la combinatoria de los subconjuntos del conjunto potencia de los números naturales. El objetivo principal es mejorar el conocimiento de estructuras combinatorias básicas como ideales, filtros y familias casi ajenas e independientes. Tal conocimiento será luego utilizado principalmente para el estudio de problemas importantes en topología de conjuntos, pero tambien en análisis real y/o álgebra._x000D_ _x000D_ Los objetivos principales del proyecto son: Mantener y fortalecer el grupo de investigación en combinatoria infinita. Publicar artículos de investigación especializados en el área en revistas internacionales de prestigio con arbitraje, en promedio 6 artículos al año. Impartir cursos de licenciatura y posgrado para captar alumnos interesados en Combinatoria Infinita y Topología de Conjuntos, en promedio 5 cursos al año. Dirigir un seminario de Combinatoria y/o Topología al año. Terminar 2 tesis de doctorado y empezar al menos dos tesis nuevas nivel maestría o doctorado. Presentar resultados de trabajo en congresos. Se planea asistir en promedio a 4 congresos internacionales y a un congreso nacional por año.

La línea de investigación propuesta involucra desarrollo de varias ramas de combinatoria infinita y sus aplicaciones. La combinatoria infinita es parte integral de teoría de conjuntos con aplicaciones en muchas ramas de matemáticas. La investigación propuesta en este proyecto involucra principalmente la combinatoria de los subconjuntos del conjunto potencia de los números naturales. El objetivo principal es mejorar el conocimiento de estructuras combinatorias básicas como ideales, filtros y familias casi ajenas e independientes. Tal conocimiento será luego utilizado principalmente para el estudio de problemas importantes en topología de conjuntos, pero tambien en análisis real y/o álgebra._x000D_ _x000D_ _x000D_ 1. Combinatoria de los ideales sobre conjuntos numerables_x000D_ _x000D_ El enfoque de la investigación será en el estudio de las propiedades combinatorias de los ideales (principalmente ideales definibles/borelianos pero también ideales no definibles como ideales maximales y familias casi ajenas) sobre los conjuntos numerables. Las herramientas principales para dicho estudio serán los invariantes cardinales del continuo y de los ideales, y los órdenes de Katetov y Tukey. _x000D_ _x000D_ El orden de Katetov está definido de la siguiente manera: Dados dos ideales I y J sobre los números naturales, N, decimos que I <_K J si existe una función f de N en N tal que preimagenes de elementos de I son elementos de J. El orden de Katetov puede ser usado para caracterizar la destructibilidad de ideales bajo forcing, propiedades combinatorias de ultra-filtros y familias casi ajenas así como P-ideales analíticos, ideales cercanamente relacionados con la teoría de medida y análisis funcional. _x000D_ _x000D_ El problema de la destructibilidad de ideales bajo forcing es central en aplicaciones de forcing a problemas combinatorios y topológicos. Posible solución a varios problemas como el problema de Roitman sobre familias casi ajenas, el problema de Malyhin sobre metrización de grupos Fréchet separables, entre otros, requieren destrozar algunos ideales preservando otros. _x000D_ _x000D_ El orden de Tukey está definido de la siguiente manera: Dados dos ideales I y J sobre los números naturales, N, decimos que I <_T J si existe una función f de I en J tal que preimagenes de conjuntos acotados en J son acotados en I. El orden de Tukey ha mostrado ser una herramienta extremadamente últil en teoría descriptiva de conjuntos y teoría de medida para clasificar las relacioens de equivalencia borelianes y analizar ideales de conjuntos compactos así como varios ideales relacionados con medida. Trabajos importantes en dicha área fueron realizados por D. Fremlin, A. Louveau, A. Kechris, S. Solecki, S. Todorcevic y B. Velickovic._x000D_ _x000D_ Ambos órdenes son herramientas poderosas para estudiar invariantes cardinales de los ideales definibles sobre conjuntos numerables. El orden de Tukey está estréchamente relacionado con sus cofinalidades mientras que el orden de Katetov relaciona sus números cubrientes._x000D_ _x000D_ Muchos de los ideales críticos en ambos órdenes son F_sigma ideales. A través del orden de Katetov, el ideal ED caracteriza ultrafiltros selectivos, el ideal ED_fin caracteriza ideales "omega-splitting" y Q-ultrafiltros... El ideal sumable I_{1/n} es el ideal maximal en el orden de Tukey entre todos los P-ideales analíticos... Se pondrá particular atención al estudio de los ideales de tipo F_sigma._x000D_ _x000D_ La investigación de familias casi ajenas de números naturales y los espacios de Mrówka-Isbell asociados a estas seguirá siendo estudiada en el proyecto. El Dr. Hrusak ha publicado más de 10 artículos sobre familias casi ajenas y sus aplicaciones uno de ellos en colaboracion con el Dr. Hernández. Los problemas centrales que se abordarán es (1) la pregunta de S. Shelah y P. Erdös sobre la existencia de una familia casi ajena maximal completamente separable y (2) la pregunta de J. Roitman si la existencia de una familia dominante de cardinalidad omega_1 implica la existecia de una familia casi ajena maximal de la misma cardinalidad. _x000D_ _x000D_ Otro tema que se continuará es el análisis estructural de "forcings" sigma-centrados. En particular se calculará el número de Martin de los "forcings" tipo Laver y Mathias-Prikry asociados a filtros sobre los números naturales. _x000D_ _x000D_ _x000D_ 2. Aplicaciones a topología_x000D_ _x000D_ Otra parte integral del proyecto se ocupará de las aplicaciones de combinatoria infinita en topología general y topología de conjuntos. Se realizará investigación sobre resolubilidad, hiperespacios y selecciones continuas, homogeneidad, grupos topológicos y propiedades cubrientes. Típicamente el análisis de problemas topológicos en el área resulta en una traducción combinatoria que involucra conceptos mencionados en el apartado anterior. _x000D_ _x000D_ Un espacio topológico se dice resoluble si puede escribirse como unión de dos subconjuntos densos ajenos. Un espacio que no es resoluble se le dice irresoluble. La demostración de la existencia de un espacio irresoluble hace uso del Axioma de Elección. Una de las preguntas consideradas es si los espacios irresolubles existen hasta en modelos de teoría de conjuntos que no satisfacen el Axioma de Elección. La conjetura es que es consistente con ZF que no existen espacios irresolubles numerables. Por otro lado, incluso bajo negaciones fuertes del Axioma de Elección, como el Axioma de Determinación, existen espacios irresolubles no numerables. Usando familias independientes con propiedades especiales se tratará de construir un espacio omega-resoluble y no extra-resoluble para resolver una pregunta de W. W. Comfort._x000D_ _x000D_ Hay varias viejas preguntas sobre la estructura de espacios homogeneos compactos. W. Rudin preguntó si cada espacio compacto homogeneo contiene una sucesión convergente. E. van Douwen preguntó si existe un espacio homogeneo compacto con celularidad mayor que la cardinalidad del continuo. Cualquier progreso sobre alguno de estos problemas será significativo._x000D_ _x000D_ Un espacio separable X es CDH (numerablemente denso homogeneo) si dados cualesquiera dos subconjuntos densos numerables de X existe un autohomeomorfismo de X que manda uno de los densos sobre el otro. El Dr. Hrusak en colaboración con B. Zamora probaron que cada espacio métrico CDH definible (boreliano) es completamente metrizable. Por otro lado, Dr. Hrusak con Dr. Farah y C. Martínez Ranero construyeron un subconjunto de los números reales de cardinalidad aleph_1 que es CDH, en particular un espacio CDH que no es completamente metrizable. Se intentará resolver el problema de Fitzpatrick y Zhou que pregunta cuáles subespacios del Conjunto de Cantor tienen su potencia numerable CDH. _x000D_ _x000D_ La parte más ambiciosa del proyecto involucrará aplicaciones de invariantes cardinales y el método de forcing en topología de conjuntos._x000D_ _x000D_ El problema de Malyhin pregunta si todo grupo topológico separable y Fréchet es metrizable. Dicho problema es uno de los problemas abiertos más importantes en topología de conjuntos. Es conocido que bajo ciertos axiomas adicionales (como la Hipótesis del Continuo, el Axioma de Martin, existencia de un gama-conjunto...) la respuesta es negativa. Por otro lado, es un resultado de S. Todorcevic que entre los espacios definibles la respuesta es positiva. _x000D_ _x000D_ La propuesta principal para atacar el problema es considerar un axioma/modelo restringido de los axiomas de forcing (como Axioma de Martin o Proper Forcing Axiom). El axioma propuesto denotado por PFA(omega-hitting) afirma que para cada forcing propio P que preserva familias omega-hitting MA_omega_1(P) es válido pero cada familia omega-hitting tiene una subfamilia omega-hitting de cardinalidad no más que omega_1. El axioma PFA(omega-hitting) es consistente con ZFC (aunque la demostración no ha sido publicada) y parece ser el mejor candidato para un axioma que podría resolver en forma afirmativa el problema de Malyhin así como otros problemas centrales de topología de conjuntos. Tambien se pretende investigar casos particulares del problema de Malyhin, en particular, el caso de grupos precompactos._x000D_ _x000D_ Otro problema que se considerará es el Problema de E. Michael referente a la existencia de un espacio Lindelöf cuyo producto con el espac