Síntesis del proyecto Antecedentes La topología algebraica y el análisis no lineal (que estudia fenómenos no lineales, entre otras cosas, descritos por ecuaciones diferenciales parciales) son dos áreas diferentes de las matemáticas. No obstante, la segunda ha logrado importantes avances haciendo uso de la primera. En el proyecto se estudian problemas de topología algebraica, muy especialmente los caracterizados por la investigación de simetrías dadas por acciones de grupos (finitos o de Lie compactos) y se dan aplicaciones al problema de existencia y caracterización de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales con simetrías, por ejemplo, teoría de las bifurcaciones con simetrías). En los últimos cinco años, los participantes y colaboradores hemos elaborado 14 artículos (9 publicados, 3 aceptados y 2 enviados), que se enumeran en la sección de bibliografía. Objetivo principal del proyecto: Seguir profundizando en el estudio de la homología equivariante y en las aplicaciones al análisis no lineal. Más concretamente, deseamos en el corto plazo lo siguiente: (a) Estudiar y entender la homología homotópica equivariante con coeficientes en un funtor de Mackey, graduada por el anillo de representaciones reales del grupo finito de simetrías. Además buscamos encontrar una buena clasificación de tránsferes equivariantes para aplicaciones cubrientes ramificadas equivariantes. (b) Estudiar y entender las bifurcaciones de las soluciones de una cierta ecuación no lineal parametrizada, cuyas simetrás están dadas por la acción de un grupo de Lie compacto. Asimismo, deseamos estudiar mapeos gradientes con simetrías.

El proyecto contribuye a tener una teoría más completa de la homología equivariante. Estamos comenzando a ver la forma de obtener, ya no sólo una homología Z-graduada, sino RO(G)-graduada. Todo esto contribuye a crear una visión de conceptos centrales de la topología algebraica en un lenguaje que no sólo es útil en la propia topología algebraica, sino en su traducción para aplicaciones en la geometría algebraica. Por el otro lado, los métodos topológicos en el análisis no lineal, a través de la teoría de grado, han sido de gran utilidad para el estudio cualitativo de las soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Lo que estamos haciendo son estudios ad-hoc para ciertos tipos de sistemas ecuaciones diferenciales (sistemas newtonianos autónomos).