Los sistemas dinámicos discretos complejos se caracterizan por tener un gran número de variables, correlacionadas de manera no trivial, las cuales toman un número finito de valores (en general 0 y 1). Nuestro enfoque en el estudio de estos sistemas es el de utilizar herramientas de la matemática discreta y combinatoria, de los desarrollos asintóticos y de la misma teoría de sistemas dinámicos continuos, para analizar nuevos aspectos de los sistemas dinámicos discretos y profundizar en su comprensión. A diferencia de los sistemas dinámicos continuos en variedades no existe un consenso general de lo que se entiende por caos en sistemas discretos ahí uno sólo cuenta con un espacio métrico finito que carece de un concepto de diferenciabilidad. Lo que es más, la distancia "natural" ahí utilizada (la distancia de Hamming) no está bien definida en el límite en que el número de variables binarias N tiende a infinito. La propuesta que estamos trabajando se basa en definir el concepto de caos en términos estrictamente topológicos para después dotar al espacio fase de los sistemas discretos de una métrica que esté bien definida para N tendiendo a infinito. El espacio que así resulta es un conjunto de Cantor; esto es, un conjunto compacto, perfecto (todos sus puntos son de acumulación) y totalmente disconexo. Nuestros intereses actuales son: i) Estudiar la posibilidad de introducir una "derivada" sin tener que hacer uso de una inmersión. Con los resultados de esta investigación se espera la publicación de uno o dos artículos en revistas de circulación internacional de estricto refereo. Además se contempla la presentación de ponencias en congresos internacionales. ii) La discretización del toro en dos dimensiones T^2 a través de un retículo de N^2 cuadrados de lado 1 / N da como resultado un espacio fase finito T^2_N y ofrece una posibilidad interesante de estudiar las trazas de caoticidad que quedan como residuo de mapeos f: T^2 ---> T^2 caóticos en el caso continuo al pasar al discretizado f_N: T_N^2 ---> T^2_N. Con los resultados de esta investigación también esperamos la publicación de un artículo en revista de circulación internacional con refereo. iii) Aplicando la técnica de la integral funcional y teoremas de límite central se planea estudiar la termodinámica de un modelo de red neuronal binaria cuya dinámica no tiende a un punto fijo. En este caso no es posible construir una función de partición mediante el uso de la simetría de réplica. Los resultados de esta investigación serán publicados en revistas de circulación internacional de estricto refereo. Además se contempla la graduación como doctor del estudiante Francisco Reynaga Gutiérrez además de la presentación de ponencias en congresos internacionales. iv) Aplicando las técnicas de la teoría espectral de gráficas y Cubiertas de Galois, así como expansiones asintóticas, estudiar la modelación del mapeo genotipo-fenotipo mediante autómatas NK de Kauffman. Los resultados serán publicados en revistas de circulación internacional de estricto refereo, así como expuestos en congresos internacionales.

En fechas recientes [2,3] se encontró una nueva expresión combinatoria de la distribución del número de componentes conexas del modelo aleatorio (redes de Kauffman con K = N). Si bien ésta es completamente equivalente a las encontradas por Folkert [9] y Harris [10] desde el punto de vista numérico, es completamente diversa desde el aspecto combinatorio, tanto así que nos permitió la derivación de una expresión asintótica para N>>1, dándole así una utilidad práctica desde la perspectiva de las aplicaciones en física y biología teóricas. Asimismo, hemos encontrado fórmulas combinatorias y asintóticas para la longitud total de ciclos, para la probabilidad de que un estado dado esté en un ciclo, para la longitud promedio de los ciclos, para el alcance promedio de un punto, etc. También hemos encontrado que para que los autómatas de Kauffman modelen de forma robusta los sistemas genéticos, es necesario que la conectividad K debe ser menor o igual a 3. Resultado publicado en la ref.[34]. Actualmente los Drs. Martha Takane y Federico Zertuche nos encontramos aplicando la teoría de cubiertas de Galois y el análisis espectral de gráficas para profundizar en la estructura de mapeo genotipo-fenotipo modelado a través de un mapeo del conjunto de autómatas NK de Kauffman en el conjunto de las N-funciones boolenas. Para ello utilizamos el hecho de que este último es isomorfo al conjunto de las (2^N)-gráficas funcionales. Los Drs. Fabio Benatti, Alberto Verjovsky y Federico Zertuche nos encontramos trabajando en el tema de caos en sistemas dinámicos discretos, tales como las redes neuronales binarias y los autómatas celulares. A diferencia de los sistemas dinámicos continuos en variedades [22-25] no existe un consenso general de lo que se entiende por caos en sistemas discretos: Si el espacio fase es finito, entonces el sistema eventualmente tenderá a desarrollar la dinámica en un periodo. En el caso de estudios numéricos de sistemas continuos uno debe discretizar la variedad y la dinámica ahí desarrollada eventualmente resulta periódica. Sin embargo, permitiendo que el número de estados vaya a infinito, la estructura del continuo emerge y uno recupera, en caso de existir, los rasgos distintivos del comportamiento caótico. Las cosas son muy distintas en el caso de los sistemas discretos. Ahí uno sólo cuenta con un espacio métrico finito que carece de un concepto de diferenciabilidad. Lo que es más, la distancia ``natural'' ahí utilizada (la distancia de Hamming) no está bien definida en el límite en que el número de variables binarias N tiende a infinito[27,28]. La propuesta que estamos trabajando se basa en definir el concepto de caos en términos estrictamente topológicos para después dotar al espacio fase de los sistemas discretos de una métrica que esté bien definida para N \to\infty . El espacio que así resulta es un conjunto de Cantor; esto es, un conjunto compacto, perfecto (todos sus puntos son de acumulación) y totalmente disconexo. Recientemente publicamos una artículo donde reportamos estos resultados [28].