OBJETIVO GENERAL. El objetivo general de este proyecto es generar conocimiento de frontera sobre existencia, multiplicidad y estructura de soluciones de ecuaciones diferenciales nolineales que surgen como modelos en otras ciencias; formar científicos y académicos en esta área; e incidir en el fortalecimiento de la educación superior en México. OBJETIVOS PARTICULARES. Durante el periodo 2009-2011 continuaremos desarrollando las líneas de investigación iniciadas con especialistas reconocidos del extranjero y del país sobre problemas de frontera de interés actual, y abriremos nuevas líneas de investigación con otros especialistas. Las líneas de investigación que desarrollaremos se refieren al estudio de problemas elípticos no lineales. En particular, a) estudiaremos la ecuación nolineal de Schrödinger con campo magnético, en el caso clásico y semiclásico, ante la presencia de obstáculos (efecto de Aharonov-Bohm), b) investigaremos sobre la multiplicidad de soluciones multipico para ecuaciones de Schrödinger con potencial periódico, c) aplicaremos el principio de superposición nolineal al estudio de la ecuación de Schrödinger con potencial periódico y a problemas en dominios que se expanden. d) continuaremos investigando sobre la existencia de soluciones para el problema de exponente crítico puro (problema de Bahri-Coron), e) continuaremos estudiando el problema de multiplicidad de soluciones de problemas elípticos nolineales con perturbación de simetrías, f) estudiaremos la existencia y regularidad de soluciones estables para laplacianos fraccionarios. Otros problemas que abordaremos aparecen en el apartado “Metas por año”. Trabajeremos además en la consolidación de nuestro grupo de investigación a través de proyectos de investigación conjuntos y seminarios especializados. Continuaremos formando estudiantes de posgrado y licenciatura, e incidiremos en el fortalecimiento de la educación superior impartiendo cursos de licenciatura y posgrado, y elaborando libros de texto en nuestra área de especialidad. PARTICIPANTES. Participan en este proyecto tres investigadores: - Mónica Clapp, responsable del proyecto, Investigadora Titular C del Instituto de Matemáticas de la UNAM, - Nils Ackermann, Investigador Asociado C del mismo insituto, y - Antonio Capella, quien está por concluír una estancia posdoctoral en la Universidad de Bonn y se incorporará al Instituto de Matemáticas de la UNAM en enero de 2009 como Investigador Asociado C. Los tres investigadores participantes cuentan con una sólida trayectoria académica y con experiencia en las líneas de investigación de este proyecto. Durante el periodo 2005-2008 publicaron 24 artículos de investigación original en revistas de alto nivel. En su trabajo trabajo previo han desarrollado una serie de técnicas que han resultado exitosas para abordar diversos problemas, y que seguramente resultarán fructíferas para abordar los problemas planteados en este proyecto. En lo que se refiere a la formación de recursos humanos, en los últimos 3 años la responsable concluyó la dirección de 2 tesis de doctorado, una tesina de maestría y 5 tesis de licenciatura. N. Ackermann, quien se incorporó apenas hace dos años a la UNAM, está dirigiendo 4 tesis de licenciatura, una de las cuales será defendida próximamente. Ambos imparten regularmente cursos en de licenciatura o posgrado en la Facultad de Ciencias de la UNAM. RESULTADOS ESPERADOS. 1) Esperamos concluír los 12 proyectos de investigación especificados en el protocolo, en colaboración con reconocidos especialistas del extranjero y del país, e iniciar otros nuevos. Esperamos producir al menos seis artículos de investigación por año, que serán enviados a revistas especializadas de alto nivel. 2) Durante el 2009 concluiremos la dirección de dos tesis de licenciatura e iniciaremos la dirección de una tesis de maestría. En el transcurso del proyecto continuaremos dirigiendo tesis y asesorando estudiantes de licenciatura y posgrado. 3) Cada uno de los tres investigadores participantes impartiremos un curso de licenciatura o posgrado por semestre. 4) Elaboraremos un libro de texto de Análisis Matemático para los cursos del 5o. y 6o. semestres de la licenciatura, que esperamos concluír en 2010. 5) Recibiremos la visita de 6 especialistas extranjeros por año, quienes colaborarán con nosotros en los proyectos de investigación mencionados en el protocolo, e impartirán conferencias sobre su trabajo en nuestro Seminario de Análisis y Ecuaciones Diferenciales. Nos visitarán en el 2009 X. Cabré (ICREA- UPC, Barcelona), A. Castro (Harvey Mudd College), M. Grossi (U. de Roma “La Sapienza”), F. Pacella (U. de Roma "La Sapienza"), A. Pistoia (U. de Roma "La Sapienza") y A. Szulkin (U. de Estocolmo). 6) Participaremos en los congresos internacionales y realizaremos las estancias de investigación que convengan a nuestros proyectos de investigación. Los eventos y estancias del primer año están descritas en el protocolo.

Los problemas que abordaremos son problemas de frontera en el área Ecuaciones Diferenciales Parciales Nolineales, que actualmente están en el centro del interés de los especialistas, por lo que los resultados que se obtengan repercutirán en un avance del conocimiento en el área y contribuirán a incrementar el conocimiento universal.