La sintesis de este proyecto se puede resumir de la siguiente manera: Se pretende estudiar subvariedades en el espacio moduli de curvas de género g, M_g, a partir del estudio de otros objetos geometricos como son los fibrados vectoriales de rango mayor. En particular queremos estudiar la aplicación de Petri en rango mayor o igual a 2. El objetivo es estudiar la subvariedad de M_g que consiste de curvas que no satisfacen la condición de Petri para un fibrado vectorial de rango n>1. Iniciaremos este estudio en rango 2 para ver como es el problema en general. Esta problema es muy natural pues surge del hecho que para haces lineales tal subvariedad es un divisor y pretendemos ver si en rango superior sucede lo mismo. Un tema relacionado también con el moduli de fibrados vectoriales que nosotros queremos estudiar es el siguiente: Consideramos un fibrado vectorial E de rango r sobre una curva algebraica de género g. Supongamos que E está generado por secciones globales, denotamos por M_E el kernel de la evaluación de secciones de E. Queremos estudiar las ideas desarrolladas en el artículo de Butler(citado en la bibliografía) para ver que técnicas pueden ser utilizadas para tratar de probar la estabilidad de M_E para E genérico de grado mayor o igual a rg+1. También queremos estudiar fibraciones f:X---->B, donde X es una superficie algebraica y el espacio base HB es una una curva algebraica de género cero o uno. Estudiar fibraciones nos determina de manera natural una aplicación de la curva base B en en el espacio M_g. El saber cuantas veces la imagen de esta aplicación intersecta la frontera de M_g, es equivalente( en algún sentido) a estudiar el número de fibras singulares de dicha fibración. Queremos mejorar algunas cotas que relacionan el número de fibras singulares con la inclinación de la fibración y el género de la fibra general de la fibración, además queremos también dar algunas aplicaciones dentro de la teoría de los resultados obtenidos en esta dirección.

En este proyecto tenemos como meta resolver algunos de los problemas que se encuentran abiertos actualmente en geometría algebraica y que además son de interes a un grupo muy amplio de geometras algebraicos tanto a nivel nacional como internacional. Por el lado de moduli de curvas, pretendemos estudiar fibrados vectoriales con un número de secciones determinado y con estos datos ver como es la aplicación de Petri en rango superior, esto es, la multiplicación de secciones. En rango 2(y en general en rango superior) no se sabe cual es la dimensión en M_g de la variedad que parametriza curvas que no satisfacen la condición de Petri. Se espera que dicha variedad sea un divisor(esto debido a que eso es lo que sucede en el caso de haces lineales) pero tampoco es claro que realmente esto suceda. Esto lo que nos obliga es estudiar la geometría de la curva en una Grasmaniana. Creemos que en este punto podemos contribuir de manera importante en el estudio de estos objetos. Algo que sería muy importante es saber si realmente las curvas que no satisfacen la condición de Petri para fibrados de rango superior forman un divisor en M_g. Si esto es cierto sería un resultado muy importante porque estariamos obteniendo divisores que provienen de otro tipo de geometría intrinseca que tienen las curvas algebraicas en cuestión. Una vez que uno prueba que una subvariedad es un divisor, la siguiente pregunta natural es saber cual es la clase del tal divisor. Nosotros queremos abordar este tipo de problemas, pues creemos que esto puede ser una contribución importante para entender mejor la geometría de M_g. Otro problema de fibrados vectoriales en el cual queremos contribuir es el de la estabilidad del haz M_E, donde E es un haz vectorial de rango r. Aqui nosotros queremos considerar el caso en que el haz Ees generico y globalmente generado de grad por lo menos rg+1. Creemos que siguiendo algunas ideas del artículo de Butler podamos dar algunos resultados relacionados con la estabilidad de M_E. Por el lado de fibraciones, queremos estudiar fibraciones semiestables no isotriviales, donde el espacio base es una curva B de género cero o una curva elíptica. En general es difícil estudiar fibraciones cuando el espacio base es una curva de género mayor o igual a dos. Uno de los problemas de interes es la inclinación de la fibración y acotar el número de fibras singulares de la fibración. El problema sobre el número de fibras singulares tiene que ver con cierta aplicación al espacio moduli M_g. Hay cotas que relacionan el número de fibras con la inclinación de la fibración. Queremos ver la posibilidad de obtener mejores cotas de las ya existentes sobre el número de fibra singulares, la inclinación de la fibración y el género de la fibra general. Parte importante de la investigación es aplicar los resultados que se obtengan para ver algunas implicaciones en otras areas. Lo que queremos ver es como relacionar nuestra investigación en teoría de Brill-Noether, foliaciones y fibraciones.