_x000D_ El proyecto consiste en continuar con las investigaciones sobre las estructuras geométricas en variedades diferenciables con énfasis en las estructuras complejas, simplécticas, de contacto e hiperbólicas. Todas estas estructuras están interconectadas y se estudiarán varios aspectos de la interfaz entre ellas. Por ejemplo, en una variedad compleja de tipo Kähler la 2-forma de Kähler es un forma simpléctica y la variedad deviene una variedad simpléctica. _x000D_ Dada una variedad de contacto M la variedad obtenida al multiplicar M por el círculo es una variedad simpléctica llamada la simplectización de M. Por el otro lado variedades de codimension uno coisotrópicas en variedades simplécticas son en general variedades de contacto. Una variedad provista con una foliación por hojas simplécticas es llamada una estructura regular de Poisson. El teorema de uniformización de Koebe-Poincaré nos da la interconexión entre las superficies complejas y las superficies hiperbólicas. Dentro del proyecto se estudiaran variedades hiperbólicas en dimensión alta así como variedades hiperbólicas complejas (con respecto a la métrica de Bergman). _x000D_ _x000D_ Descripción de los temas que se proponen dentro del proyecto_x000D_ _x000D_ 1) Estudio de variedades LV-M_x000D_ _x000D_ En una serie de artículos que aparecieron varias de las mejores revistas del mundo como son Annals of Mathematics, Acta Mathematica, Mathematische Annalen, Journal de Crelle, el responsable Alberto Verjovsky y Laurent Meersseman encontraron una infinidad de nuevos ejemplos de variedades complejas compactas que no son simplécticas. Los primeros ejemplos de dicha construcción se deben a Santiago López de Medrano y a Alberto Verjovsky y después Laurent Meersseman generalizó esta construcción por esa razón esas variedades se llaman LV-M manifolds. Alberto Verjovsky y Laurent Meersseman demostraron que toda variedad tórica proyectiva es el cociente de una variedad de tipo LV-M por las órbitas de la acción holomorfa de un toro complejo. _x000D_ Las variedades LV-M fueron obtenidas como el espacio de hojas de un abierto de $\mathbb C^n$ que es invariante bajo una acción de $\mathbb C^k$ (para 2k-1

_x000D_ PROTOCOLO DEL PROYECTO_x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ Título del proyecto:_x000D_ _x000D_ Geometría compleja, simpléctica, _x000D_ de contacto e hiperbólica._x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ Fondo: I0003 Fondo SEP-CONACYT_x000D_ Solicitud: 129280_x000D_ Convocatoria: CB-209-01_x000D_ Modalidad: F3 _x000D_ _x000D_ _x000D_ MIEMBROS DEL PROYECTO:_x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ Responsable. _x000D_ Dr. Alberto Verjovsky, Investigador titular “C”, nivel III del SNI, Nivel “D” PRIDE (UNAM) y Profesor del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México, Unidad Cuernavaca._x000D_ _x000D_ Investigadores participantes mexicanos jóvenes. _x000D_ Los doctores: _x000D_ 1) Margareta Boege (Instituto de Matemáticas, UNAM)_x000D_ 2) Manuel Cruz (Universidad de Guanajuato, nivel I del SNI)_x000D_ 3) Gabriela Hinojosa (Universidad Autónoma del estado de Morelos, nivel I del SNI)_x000D_ 4) Jorge Luis López López (Universidad Michoacana de San Nicolás Hidalgo, nivel I del SNI) _x000D_ 5) Pablo Suárez Serrato (Instituto de Matemáticas, UNAM, nivel I del SNI)_x000D_ _x000D_ Investigadores extranjeros participantes. _x000D_ Los profesores: _x000D_ 1) Livio Flaminio (Universidad de Lille I, Francia)_x000D_ 2) Mònica Manjarín (Universidad Autónoma de Barcelona ahora como profesora visitante en la Universidad de Rennes, Francia)_x000D_ 3) Matilde Martínez, (Instituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia de la Facultad de Ingeniería, Montevideo, Uruguay)_x000D_ 4) Laurent Meersseman (Universidad de la Borgoña, Francia)_x000D_ 5) Richard Muñiz Manasliski (Instituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia de la Facultad de Ingeniería, Montevideo, Uruguay)_x000D_ 6) Florin Nicolae (Universidad Técnica de Berlín, Alemania)_x000D_ 7) Marcel Nicolau (Universidad Autónoma de Barcelona, España)_x000D_ 8) Massimiliano Pontecorvo (Universidad de Roma TRE, Italia)_x000D_ _x000D_ Estudiantes de doctorado, los cuales se doctorarán dentro del proyecto: _x000D_ 1) Yadira Lizeth Barreto Felipe (geometría y variedades de contacto)_x000D_ 2) Juan Pablo Díaz González (geometría y variedades hiperbólicas)_x000D_ 3) Samuel Estala Arias (variedades de Hilbert y teoría de números)_x000D_ 4) Rocío González Sánchez (grupos hiperbólicos y geometría de grupos)_x000D_ 5) Elsa Puente Vázquez (espacios twistoriales y grupos Kleinianos)_x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ ANTECEDENTESANTECEDENTES:_x000D_ _x000D_ Antecedentes Históricos. A partir del último cuarto del siglo XX a través de los trabajos de V. I. Arnold, Y. Eliashberg, M. Gromov, K. McMullen, D. Sullivan, W. P. Thurston y A. Weinstein, entre otros, empezó uno de los periodos más activos y fructíferos en la historia de la matemática y muy particularmente en los diferentes aspectos geometría._x000D_ _x000D_ V. I. Arnold dio un nuevo impulso a los sistemas dinámicos provenientes de la mecánica clásica hamiltoniana y en la teoría de la óptica geométrica. El ámbito natural para los sistemas hamiltonianos son los espacios fases o, más generalmente, las variedades simplécticas. En este contexto también juegan un papel muy importante las variedades de contacto. Los trabajos y resultados de Thurston sobre geometría hiperbólica fueron parte de la razón por la cual se le otorgó la medalla Fields y culminaron con la solución por Grigori Perelman a la conjetura de geometrización de Thurston que implica, en particular, que la célebre Conjetura de Poincaré es cierta. El 22 de diciembre de 2006, la prestigiosa revista Science honró la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré como “the scientific breakthrough of the year” siendo esta la primera vez que las matemáticas obtienen esa distinción._x000D_ _x000D_ Es fundamental que en México se realicen investigaciones sobre estos temas de punta los cuales están todos interconectados y que el país tenga un grupo muy fuerte es estos temas._x000D_ _x000D_ Responsable del proyecto. El Dr. Alberto Verjovsky tiene amplio reconocimiento internacional por sus importantes contribuciones en sistemas dinámicos y los diversos aspectos de la geometría. Fue Director de la Sección de Matemáticas del ICTP de Trieste, Italia y luego Professeur de 1er Classe en la Universidad de Lille, Francia. Es miembro de la TWAS, la Academia de Ciencias del Mundo en Desarrollo, que incluye a muy destacados científicos del mundo en desarrollo y la cual en México tiene solamente 30 miembros en total (contando las diversas disciplinas), y sólo 3 de ellos son matemáticos. Tiene trabajos de investigación publicados en las revistas más importantes de matemáticas, como por ejemplo en los Annals of Mathematics, Crelle Journal of Mathematics (Journal für die reine und angewandte Mathematik), Mathematische Annalen, Communications in Mathematical Physics, etc. Ha dirigido 10 tesis doctorales, 12 tesis de maestría y 2 de licenciatura. Cuatro de los participantes investigadores jóvenes, Laurent Meersseman, Manuel Cruz, Gabriela Hinojosa y Jorge Luis López obtuvieron su doctorado bajo la supervisión del Dr. Alberto Verjovsky._x000D_ _x000D_ Actualmente está dirigiendo cinco tesis doctorales que se encuentran bastante avanzadas y cuyos temas de investigación son sobre los temas de este proyecto. EnTRE sus previos estudiantes se encuentran Marco Brunella y Laurent Meersseman, ambos investigadores del CNRS (Francia) con sede en la Universidad de Borgoña, que están considerados enTRE los mejores geómetras jóvenes de Francia. Más recientemente, los seis investigadores jóvenes que obtuvieron su doctorado con el Dr. Verjovsky, responsable del proyecto, trabajan en diversas universidades del país, han escrito varios artículos en revistas de excelencia y formado varias licenciaturas y maestrías. _x000D_ _x000D_ Antecedentes de proyectos basados en trabajos ya concluidos:_x000D_ _x000D_ 1) Colaboración con Laurent Meersseman_x000D_ Alberto Verjovsky y Laurent Meersseman tienen como parte del programa de este proyecto de colaboración continuarlas investigaciones del artículo: _x000D_ _x000D_ A smooth foliation of the 5-sphere by complex surfaces. Laurent Meersseman, Alberto Verjovsky. Annals of Mathematics, v. 156, no. 3, pp. 915-930, (2002)._x000D_ _x000D_ Parte del proyecto consiste en un estudio a profundidad de las foliaciones lisas definidas en variedades lisas compactas reales, cuyas hojas son variedades complejas. En otras palabras, las estructuras CR (Cauchy -Riemann) de las hijas son integrables y Levi-planas. Este es un tema muy importante que conecta la geometría real con la geometría compleja. Esta teoría aparece de forma natural como una nueva rama del estudio de foliaciones así como una extensión de la noción de hipersuperficies de Cn. Este tipo de estudio ha sido analizado hasta el momento por métodos locales del análisis real y complejo. La originalidad de nuestro proyecto consiste en utilizar métodos globales y geométricos, como por ejemplo la teoría de Kodaira de clasificación de superficies._x000D_ _x000D_ En el artículo antes citado se construyó el primer ejemplo no trivial de una CR-estructura que es Levi-plana e integrable y donde la estructura no proviene de un encaje de la 5-esfera en una variedad de Kähler o de Stein. Nuestro punto de vista abre un nuevo horizonte a la investigación que concentraremos en tres ejes:_x000D_ _x000D_ (1) Construcción de ejemplos: ¿Existe una estructura Levi-plana e integrable en las esferas de dimensión impar superior a 5?_x000D_ (2) Deformaciones: Determinar el espacio de deformaciones y definir espacios de moduli de este tipo de foliaciones, cuando ellas existan._x000D_ (3) Uniformización: Determinar si dos foliaciones por variedades complejas en las que existe una biyección que restringida a cada hoja es un biholomorfismo son CR-equivalentes._x000D_ _x000D_ La cooperación enTRE los doctores Laurent Meersseman (Universidad de la Borgoña, Francia) y Alberto Verjovsky (IMATE-UNAM, Unidad Cuernavaca), responsables del proyecto, ha sido muy fructífera. Se han publicado varios artículos enTRE los cuales podemos mencionar:_x000D_ _x000D_ (1) A smooth foliation of the 5-sphere by complex surfaces. Laurent Meersseman, Alberto Verjovsky. Annals of Mathematics, v. 156, no. 3, pp. 915-930, (2002)._x000D_ _x000D_ De los resultados obtenidos en dicho artículo hemos obtenido nuevos resultados. En una primera parte, tenemos programado continuar las investigaciones obtenidas en el artículo: _x000D_ _x000D_ (2) Holomorphic principal bundles over projective toric varietes. Laurent Meersseman, Alberto Verjovsky. Crelle, Journal für die reine und angewandte Mathematik, v. 572, pp. 57-96 (2004)._x000D_