El proyecto abordará el estudio de curvas algebraicas y su moduli en Superficies Algebraicas. El primero en estudiar este tipo de problemas fue F. Severi, introduciendo asi lo que se conoce como variedad de Severi. Lo que queremos nosostros es estudiar familias de curvas en superficies algebraicas distintas del plano proyectivo P^2. Este es un tema muy activo en estos dias, por ejemplo existen variedades de Severi en Superficies de Hirzebruch y en general sobre cualquier superficie algebraica. Un ingrediente nuevo aqui es el de introducir ciertos fibrados vectoriales para el estudio de dichas curvas. Dado un fibrado vectorial de rango dos sobre una curva podemos asociar un Scroll a partir de la proyectivización del haz, y podemos estudiar sistemas lineales de curvas en dicho Scroll, podemos preguntarnos la relación entre el haz y los sistemas lineales de curvas en dicho Scroll. Por ejemplo podemos estudiar cosas relacionadas con la dimensión de ciertos sistemas lineales de curvas nodales, o por la imagen en moduli de dichos sistemas lineales. Aqui lo importante es que las condiciones de estabilidad o semiestabilidad del haz determinan propiedades sobre ciertos grupos de cohomología de la superficie y esto ha su vez determina condiciones geometricas sobre un sistema lineal determinado de curvas(ver por ejemplo el trabjo de Calabrti-Ciliberto-Flamini-Miranda). Así pues este proyecto consistirá en estudiar la geometría de sistemas lineales de curvas en superficies y obtener resultados nuevos en en esta dirección.

Nuestra contribución será la obtencion de nuevas familias de curvas nodales en superficies algebraicas cuya imagen en moduli dominen a ciertos divisores de Gieseker-Petri. Por ejemplo, aun en el caso de P^2 no se sabe que curvas plana con nodos tienen imagen densoa sobre un divisor de Gieseker-Petri. Yo demostre que para curvas de grado g y género g existe una familia de curvas planas con nodos en posición muy especial cuya imagen en moduli es un divisor de Gieseker-Petri en M_g. Pero en general para grado menor o igual a g-1 no se conoce nada. Se sabe muy poco que sucede cuando uno considera la misma pregunta pero ahora subre una superficie algebraica distinta de P^2. Es decir, si uno considera un sistema lineal de curvas nodales |C|, uno quiere determinar si dentro de dicho sistema lineal existe alguna familia de curvas cuya imagen en moduli tenga dimension 3g-4 y que dicha familia se relaciones con algún divisor de tipo Gieseker-Petri. _x000D_ _x000D_ Mi contribución será la de probar exsitencia de dichas familas y estudiar bien su geometría. Para llegar a tal fin, debo relacionar varias ideas que relacionan teoría de Brill-Noether de haces de rango 2 con ciertas superficies Scroll determinadas por dicho haz. En tales superficies quiero estudiar determinados sistemas lineales y/o fibraciones y relacionar la geometría de la superficie con la geometría dela haz y de sistemas lineales. Considero que con este tipo de estudio puedo contribuir de manera distinta a entender la geometría y el estudio de curvas en determinadas superficies algebraicas. _x000D_