Primero el lado de investigación. Se investigarán en tres direcciones aliadas diversas facetas de las variedades de dimensión 3 y 4. _x000D_ _x000D_ Estas direcciones serán recorridas en tres colaboraciones._x000D_ _x000D_ La primera es con el Prof. Chris Connell, de la Universidad de Indiana en USA. Llevamos trabajando sobre este tema desde 2009 y ciertamente es muy difícil, pero también es una propuesta muy inovadora. Al definir un método del baricentro (a la Besson-Courtois-Gallot) adaptado para foliaciones singulares en 4-variedades simplécticas X (dónde las hojas son 3-variedades hiperbólicas Y) encontraremos cotas inferiores para el volumen mínimo de X (usando el volumen de Y). Hemos obtenido ya varios resultados en esta dirección, pero este proyecto tiene una contraparte en la que hace falta caracterizar las 4-variedades simplécticas de volumen mínimo nulo. Hemos avanzado en esta dirección en el último año y esperamos poder tener todo el programa completo hacia el final del proyecto._x000D_ _x000D_ La segunda es con el Prof. Samuel Tapie, de la Universidad de Nantes en Francia. Este proyecto lo comenzamos en el verano del 2012, en una estancia que realicé en el Laboratorio Jean Leray financiado por el Centre National de la Recherche Scientifique cómo investigador invitado («poste rouge»). En analogía a la entropía topológica y volumétrica, es posible definir invariantes de sistemas dinámicos que son de complejidad dinámica a lo más polinomial (por ende de entropía nula). El objetivo es demostrar propiedades generales sobre estos invariantes para los flujos geodésicos de variedades nilpotentes de rango dos, cuyas métricas invariantes por la izquierda siempre son de entropía nula. Además para el caso concreto de la variedad de Heisenberg, que es una 3-variedad nilpotente, realizaremos los cálculos explícitos de estos invariantes._x000D_ _x000D_ La tercera colaboración es con el Prof. Jean-François Lafont, de la Universidad de Ohio en USA. Este proyecto fue sugerido por el Prof. Lafont en una visita que realicé para presentar mis resultados en los seminarios de Geometría y Topología en Columbus, OH. Investigaremos la definición de modelos aleatorios para 4-variedades. Mediante el uso de fibraciones de Lefschetz singulares (ahora también llamadas funciones 2-Morse por algunos expertos) podemos describir una 4-variedad lisa cualquiera usando sistemas de curvas en superficies. De esta manera es posible describir (al menos un modelo de) 4-variedades “aleatorias”. Uno debería recordar que los conceptos de gráfica (grafo) y grupo aleatorios han dado lugar a grandes avances dentro de cada una de las ramas a las que pertenecen. Es por eso que al tener un modelo aleatorio de 4-variedades, podremos hacer y responder preguntas probabilísticas acerca del comportamiento de una 4-variedad genérica._x000D_ _x000D_ En cuanto a docencia se refiere, se impartirán 4 cursos de temas relacionados con estas lineas de investigación, en la Facultad de Ciencias y en el Posgrado de Matemáticas de la UNAM._x000D_ Ahora la parte de formación de recursos humanos. Se escribirán 2 tesis de licenciatura y una de maestría, titulandose así 3 alumnos. Para esto se solicitan becas para que Jannina Ovalle escriba su tesis de maestría, Raúl Alvarez termine de escribir su tesis de licenciatura (ambos estudiantes en la UNAM) y una beca junto con apoyo para venir a la Ciudad de México para Miguel Angel Evangelista, de la Universidad Autonoma de Guerrero en Acapulco._x000D_ _x000D_ Se organizará una escuela de geometría y dinámica en la ciudad de Oaxaca en enero del 2014.

El proyecto ahondará el conocimiento e interacción entre las áreas de geometría, dinámica y probabilidad._x000D_ _x000D_ Por la parte de investigación, desarrollaremos invariantes dinámicos nuevos, calcularemos invariantes geométricos que has ahora han sido inaccesibles e introduciremos modelos aleatorios para 4-variedades de forma que se puedan tratar cuestiones topológicas y geométricas de forma probabilista._x000D_ _x000D_ En cuanto a formación de recursos humanos, además de los 3 estudiantes antes mencionados, se continuará con la realización de seminarios de investigación en el Instituto de Matemáticas. Este semestre (2013-1) hemos fusionado el Seminario de Geometría y Dinámica (realizado del 2010 al 2012) con el seminario más antiguo de nuestro instituto, el Seminario Guillermo Torres de Topología y Geometría (GTTG). _x000D_ _x000D_ Para poder reembolsar los gastos de transporte de los ponentes que vienen a presentar su investigación en el Seminarion GTTG, solicitamos una partida del proyecto para cubrirlos. _x000D_ _x000D_ En lo que va del semestre, hemos tenido ya ponencias de matemáticos de la Universidad de Munich y de la Universidad Estatal de Nueva York en Stony Brook. Tenemos programados ponentes del ETH de Zurich en Suiza, de la Universidad de Bonn en Alemania, del CIMAT en Guanajuato y de la Unidad Cuernavaca de nuestro propio Instituto._x000D_ _x000D_ Este espacio permite que los investigadores de la Ciudad de México y los estudiantes de posgrado interesados puedan conocer los avances recientes en temas de investigación de punta en otras instituciones académicas.